Il Calcolo Algebrico

Benvenuto! 👋

Questo è il tuo laboratorio per imparare il calcolo algebrico: quel gioco di lettere e numeri che sta alla base di equazioni, disequazioni e funzioni. Qui non ti limiterai a leggere: guarderai, proverai e ti metterai alla prova.

Il percorso è diviso in cinque tappe da affrontare nell'ordine che preferisci:

Raccoglimento a fattor comune (totale e parziale)
Prodotti notevoli e come usarli per scomporre
Divisione con la regola di Ruffini e il teorema del resto
Frazioni algebriche e le operazioni con esse
Espressioni algebriche complete

In ogni tappa trovi quattro schede:

📚 Teoria — le idee e le formule chiave · 🎬 Simulazione — un esempio che si costruisce passo dopo passo davanti ai tuoi occhi · ✏️ Esercizi — svolti passo-passo, riveli un aiuto alla volta · 🎯 Quiz — 10 domande con feedback immediato.

Prima di iniziare, dai un'occhiata alla scheda Prerequisiti: un ripasso veloce di monomi e polinomi. I tuoi punteggi dei quiz vengono salvati automaticamente nel browser.

📜 Una nota storica

La parola «algebra» ha più di mille anni. Nasce dal titolo di un libro scritto intorno all'820 d.C. a Baghdad dal matematico persiano al-Khwārizmī: «al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala». Quel «al-jabr» — che significa «ricomporre», «rimettere insieme» — è diventato la nostra parola algebra. Dallo stesso autore, storpiando il suo nome, deriva anche il termine «algoritmo».

Per secoli i problemi si scrivevano a parole. Solo alla fine del Cinquecento il francese François Viète ebbe l'idea rivoluzionaria di usare le lettere al posto dei numeri: da lì nasce il calcolo letterale che studierai.

E il metodo di divisione veloce che incontrerai porta il nome di Paolo Ruffini (1765–1822), matematico e medico italiano: un pezzo di questa storia parla proprio la nostra lingua. 🇮🇹

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Prerequisiti

Ripasso lampo: monomi, polinomi e le operazioni di base.

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Raccoglimento

A fattor comune totale e parziale: il primo passo per scomporre.

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Prodotti Notevoli

Quadrati, cubi, somma per differenza — e la scomposizione inversa.

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Divisione di Ruffini

Lo schema veloce e il teorema del resto per scomporre.

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Frazioni Algebriche

Dominio, semplificazione e operazioni con le frazioni.

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Espressioni

Mettere insieme tutto: la strategia per le espressioni complete.

📊 I tuoi progressi

Prerequisiti

Un ripasso veloce prima di partire

Monomi

Un monomio è il prodotto di un numero (coefficiente) per una o più lettere (parte letterale) con esponenti interi non negativi.

Esempi: $5x^2y$, $\;-3ab^3$, $\;\tfrac{1}{2}xy^2$, $\;7$

Il grado è la somma degli esponenti delle lettere; monomi simili hanno la stessa parte letterale.

Es.: $5x^3y^2z$ ha grado $6$. $3x^2y$ e $-7x^2y$ sono simili.

Operazioni con i monomi

Somma / differenza (solo tra simili)

$3x^2y+5x^2y-2x^2y=6x^2y$

Prodotto e quoziente

$(2x^3y)\cdot(-4xy^2)=-8x^{4}y^{3}$ $\dfrac{12x^5y^3}{4x^2y}=3x^3y^2$

Potenza

$(2x^2y)^3=8x^6y^3$

Ricorda: nel prodotto gli esponenti si sommano, nel quoziente si sottraggono, nella potenza si moltiplicano.

Polinomi

Un polinomio è una somma algebrica di monomi non simili. Il suo grado è quello del termine di grado massimo.

$P(x)=3x^3-2x^2+5x-7$ (grado $3$)

Un polinomio è ordinato se i termini seguono gli esponenti decrescenti, completo se non manca nessun grado (dal massimo fino al termine noto).

Operazioni con i polinomi

$(3x^2+2x-1)+(x^2-3x+4)=4x^2-x+3$

$(2x^2-x+3)-(x^2+2x-1)=x^2-3x+4$

$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8$

Occhio ai segni: davanti a una parentesi preceduta da $-$ tutti i segni interni cambiano: $-(a-b)=-a+b$.

Raccoglimento a fattor comune

Totale e parziale: da somma a prodotto

Cosa vuol dire scomporre

Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di fattori più semplici. È l'operazione inversa dello svolgere i prodotti.

$6x+9 \;\longrightarrow\; 3(2x+3)$

1. Raccoglimento totale

Metto in evidenza il fattore comune a tutti i termini: MCD dei coefficienti × lettere comuni con esponente minimo.

$ax+ay=a(x+y)$

Es.: $6x^2-12x=6x(x-2)$ $10a^3-15a^2=5a^2(2a-3)$

Verifica sempre risvolgendo il prodotto: deve tornare il polinomio di partenza.

2. Raccoglimento parziale

Quando non c'è un fattore comune a tutti i termini (spesso con 4 termini): li raggruppo a coppie, raccolgo in ciascun gruppo e faccio comparire una parentesi uguale.

$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$

Es.: $x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^2+1)$

Attenzione: se dopo aver raccolto le due parentesi non sono uguali, prova a cambiare l'accoppiamento dei termini.

Occhio al segno

Se il primo termine è negativo, conviene raccogliere anche il segno meno.

Es.: $-6x^3+9x^2-3x=-3x(2x^2-3x+1)$

Prodotti Notevoli

Le formule chiave — per sviluppare e per scomporre

Somma per differenza → Differenza di quadrati

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Sviluppo: $(2x+5)(2x-5)=4x^2-25$ Scomposizione: $x^2-9=(x+3)(x-3)$

Quadrato di un binomio

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Es.: $(x+3)^2=x^2+6x+9$ $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$

Al contrario, un trinomio quadrato perfetto si scompone come quadrato:

$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$

Es.: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

Errore classico: $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$. Manca sempre il doppio prodotto $2ab$!

Quadrato di un trinomio

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Es.: $(x+y+1)^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

Cubo di un binomio

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Es.: $(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$ $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$

Somma e differenza di cubi

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Es.: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$

Trucco per i segni: il primo fattore ha lo stesso segno; nel secondo il termine centrale ha segno opposto.

Divisione con la regola di Ruffini

Lo schema veloce e il teorema del resto

A cosa serve

La regola di Ruffini permette di dividere velocemente un polinomio $P(x)$ per un binomio del tipo $(x-a)$, senza fare la divisione in colonna.

Lo schema passo per passo

Scrivi $P(x)$ ordinato e completo (metti $0$ ai termini mancanti).
Incolonna i coefficienti; a sinistra scrivi il valore $a$.
Abbassa il primo coefficiente.
Moltiplica per $a$ e somma al coefficiente successivo. Ripeti fino alla fine.
L'ultimo numero è il resto; gli altri sono i coefficienti del quoziente (grado abbassato di 1).

Es.: $(x^3-2x^2+x-2):(x-2)$, coefficienti $1,-2,1,-2$, $a=2$ → quoziente $x^2+1$, resto $0$.

Il Teorema del Resto

Il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)$ è semplicemente $P(a)$: basta sostituire!

resto di $\,P(x):(x-a)\; = \; P(a)$

Es.: resto di $(x^3-3x+1):(x-2)$ → $P(2)=8-6+1=3$.

Teorema del fattore

Se $P(a)=0$, allora il resto è $0$ e $(x-a)$ è un fattore di $P(x)$: possiamo scomporlo!

Le eventuali radici intere vanno cercate tra i divisori del termine noto. Provale con il teorema del resto: se $P(a)=0$, hai trovato un fattore.

Ruffini per scomporre (grado ≥ 3)

Trovata una radice $a$ con $P(a)=0$, divido con Ruffini: $P(x)=(x-a)\cdot Q(x)$. Poi scompongo ancora il quoziente $Q(x)$.

Es.: $x^3-6x^2+11x-6$: provo $x=1$ → $P(1)=0$. Quoziente $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Risultato: $(x-1)(x-2)(x-3)$.

Frazioni Algebriche

Frazioni con polinomi al numeratore e denominatore

Definizione e condizioni di esistenza

Una frazione algebrica è $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ con $B(x)\neq 0$. Le C.E. (condizioni di esistenza) sono i valori di $x$ che non annullano il denominatore.

Es.: $\dfrac{x+2}{x-3}$ è definita per $x\neq 3$.

Semplificazione

Scomponi numeratore e denominatore, poi elidi i fattori comuni.

$\dfrac{x^2-4}{x+2}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2\quad(x\neq -2)$

Attenzione: si semplificano solo i fattori, mai i termini di una somma!

Prodotto e quoziente

$\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{AC}{BD}$ $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}$

Es.: $\dfrac{x^2-9}{x+3}\cdot\dfrac{x^2+x}{x^2-3x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}\cdot\dfrac{x(x+1)}{x(x-3)}=x+1$

Somma e differenza

Scomponi i denominatori.
Trova il m.c.m. dei denominatori.
Riscrivi ogni frazione col denominatore comune.
Somma i numeratori e riduci.

Es.: $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{2x}{x^2-1}$

Espressioni Algebriche

Mettere insieme tutti i pezzi

Strategia in 6 passi

Determina le C.E. (valori che annullano qualche denominatore).
Scomponi dove utile (prodotti notevoli o raccoglimenti).
Esegui le operazioni nelle parentesi interne.
Esegui moltiplicazioni / divisioni tra frazioni.
Esegui somme / differenze col m.c.m.
Semplifica il risultato finale.

Esempio con due metodi

$(x+1)^2-(x-1)^2$

Metodo A — sviluppo: $(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x$.

Metodo B — differenza di quadrati: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ con $A=x+1$, $B=x-1$ → $(2x)(2)=4x$.

Riconoscere un prodotto notevole spesso accorcia moltissimo i calcoli.

Errori tipici da evitare

Semplificare i termini di una somma (solo i fattori si semplificano).
Dimenticare il $-$ davanti a una parentesi: $-(a-b)=-a+b$, non $-a-b$.
Scrivere $(a+b)^2=a^2+b^2$: manca $2ab$!
Omettere le C.E. nelle espressioni con frazioni.